निम्नलिखित तीन समतलों पर विचार करें:
$P : x + y - 2z + 7 = 0$
$Q : x + y + 2z + 2 = 0$
$R : 3x + 3y - 6z - 11 = 0$

बिंदु $(3,1,1)$ से गुजरने वाला एक समतल दो रेखाओं को समाहित करता है जिनके दिशा अनुपात क्रमशः $1, -2, 2$ और $2, 3, -1$ हैं। यदि यह समतल बिंदु $(\alpha, -3, 5)$ से भी गुजरता है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक समतल $X, Y, Z$ अक्षों को क्रमशः $A, B, C$ पर काटता है,जिससे $\triangle ABC$ का केंद्रक $(6, 6, 3)$ है। तो उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

$(2, 3, 4)$ से गुजरने वाले और $5x - 6y + 7z = 3$ समतल के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(-1, 3, 2)$ से गुजरने वाले और समतलों $x + 2y + 3z = 5$ तथा $3x + 3y + z = 0$ में से प्रत्येक पर लंब समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि $\alpha$ समतलों $P_1$ और $P_2$ के बीच का न्यून कोण है,जहाँ समतलों $P_1$ और $P_2$ का संयुक्त समीकरण $2x^2 - 6y^2 - 12z^2 + 18yz + 2zx + xy = 0$ है,तो $\cos \alpha$ का मान क्या है?