यदि frac{dy}{dx} = (x - 1)^3 (x - 2)^4 है,तो | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $\frac{dy}{dx} = (x - 1)^3 (x - 2)^4$.क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखें,जिससे $x = 1$ और $x

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$x = 1$ पर न्यूनतम है

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $\frac{dy}{dx} = (x - 1)^3 (x - 2)^4$.क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखें,जिससे $x = 1$ और $x = 2$ प्राप्त होते हैं।इन बिंदुओं की प्रकृति की जाँच करने के लिए हम प्रथम अवकलज परीक्षण (first derivative test) का उपयोग करते हैं।$x = 1$ के लिए:- यदि $x = 1 - h$ (जहाँ $h > 0$ बहुत छोटा है),तो $\frac{dy}{dx} = (1 - h - 1)^3 (1 - h - 2)^4 = (-h)^3 (-1 - h)^4 = (-h^3)(+) = -ve$.- यदि $x = 1 + h$,तो $\frac{dy}{dx} = (1 + h - 1)^3 (1 + h - 2)^4 = (h)^3 (h - 1)^4 = (+)(+) = +ve$.चूँकि $x = 1$ पर $\frac{dy}{dx}$ का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए $x = 1$ पर $y$ का मान न्यूनतम है।$x = 2$ के लिए:- यदि $x = 2 - h$,तो $\frac{dy}{dx} = (2 - h - 1)^3 (2 - h - 2)^4 = (1 - h)^3 (-h)^4 = (+)(+) = +ve$.- यदि $x = 2 + h$,तो $\frac{dy}{dx} = (2 + h - 1)^3 (2 + h - 2)^4 = (1 + h)^3 (h)^4 = (+)(+) = +ve$.चूँकि $x = 2$ पर $\frac{dy}{dx}$ का चिह्न नहीं बदलता है,इसलिए $x = 2$ एक नति परिवर्तन बिंदु (point of inflection) है।

यदि $\frac{dy}{dx} = (x - 1)^3 (x - 2)^4$ है,तो $y$ के लिए:

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