જો $\sin ^{ - 1}\frac{{2a}}{{1 + {a^2}}} - \cos ^{ - 1}\frac{{1 - {b^2}}}{{1 + {b^2}}} = \tan ^{ - 1}\frac{{2x}}{{1 - {x^2}}}$,હોય,તો $x = $

ધારો કે $S_{k} = \sum_{r=1}^{k} \tan^{-1}\left(\frac{6^{r}}{2^{2r+1} + 3^{2r+1}}\right)$. તો $\lim_{k \rightarrow \infty} S_{k}$ ની કિંમત શોધો.

વિધાન-$1$: ${\cot ^{ - 1}}\left[ {\frac{{\log (e/{x^2})}}{{\log (ex^2)}}} \right] + {\cot ^{ - 1}}\left[ {\frac{{\log (ex^2)}}{{\log (e/{x^2})}}} \right] = \frac{\pi}{2}$
વિધાન-$2$: ${\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{1 + \log {x^2}}}{{1 - \log {x^2}}}} \right] = {\tan ^{ - 1}}1 + {\tan ^{ - 1}}(\log {x^2})$

ત્રિકોણમિતીય સમીકરણ $\sin ^{-1} x = 2 \sin ^{-1} 2a$ નો વાસ્તવિક ઉકેલ મળે, જો

જો $\sin \left(\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x\right)=1$ હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો.

$\cos (\tan ^{ - 1}(\tan 2))$ ની કિંમત શોધો.