નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: int_{0}^{infty} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} \, dx$. ગુણધર્મ $\int_{0}^{\infty} f(x) \, dx = \int_{0}^{\infty} f(1/x) \cdot \frac{1}{

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} \, dx$. ગુણધર્મ $\int_{0}^{\infty} f(x) \, dx = \int_{0}^{\infty} f(1/x) \cdot \frac{1}{x^2} \, dx$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x = 1/t$ આદેશ લઈએ,તેથી $dx = -1/t^2 \, dt$. જ્યારે $x 	o 0, t 	o \infty$ અને જ્યારે $x 	o \infty, t 	o 0$. $I = \int_{\infty}^{0} \frac{1/t}{(1 + 1/t)(1 + 1/t^2)} \cdot (-1/t^2) \, dt = \int_{0}^{\infty} \frac{1/t}{(\frac{t+1}{t})(\frac{t^2+1}{t^2})} \cdot \frac{1}{t^2} \, dt = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{t(t+1)(t^2+1)/t^3} \cdot \frac{1}{t^2} \, dt = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(t+1)(t^2+1)} \, dt$. હવે,$2I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1+x)(1+x^2)} \, dx + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+x)(1+x^2)} \, dx = \int_{0}^{\infty} \frac{x+1}{(1+x)(1+x^2)} \, dx = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx$. $2I = [	an^{-1}(x)]_{0}^{\infty} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$. તેથી,$I = \frac{\pi}{4}$.

નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} \, dx$

Similar Questions

સંકલન $\int_0^\pi(1-|\sin 8 x|) d x$ નું મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે $I(R) = \int_0^R e^{-R \sin x} dx$, જ્યાં $R > 0$. તો,

$\int_{-\pi / 2}^{2 \pi} \sin ^{-1}(\sin x) d x=$

$\int_{0}^{\infty} \log \left( x + \frac{1}{x} \right) \frac{dx}{1 + x^2}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module