frac{1}{2} त्रिज्या वाले एक अर्धवृत्त में एक | vedclass

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Question

(A) माना अर्धवृत्त का व्यास $AD = 2R = 1$ है। माना समकोण त्रिभुज $	riangle ABD$ है,जहाँ $C$ बिंदु व्यास $AD$ पर स्थित है और $\angle BCD = 90^{\circ}$

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$\frac{1}{4}$

Vedclass · Answer

(A) माना अर्धवृत्त का व्यास $AD = 2R = 1$ है। माना समकोण त्रिभुज $	riangle ABD$ है,जहाँ $C$ बिंदु व्यास $AD$ पर स्थित है और $\angle BCD = 90^{\circ}$ है। माना $AC = x$,तो $CD = 1 - x$ होगा। वृत्त के गुणधर्म के अनुसार,$BC^2 = AC 	imes CD = x(1 - x)$। अतः,$BC = \sqrt{x(1 - x)}$। त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊँचाई} = \frac{1}{2} 	imes AD 	imes BC = \frac{1}{2} 	imes 1 	imes \sqrt{x(1 - x)} = \frac{1}{2} \sqrt{x - x^2}$। $A$ को अधिकतम करने के लिए,हमें $f(x) = x - x^2$ को अधिकतम करना होगा। अवकलन करने पर,$f'(x) = 1 - 2x$। $f'(x) = 0$ रखने पर,$x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है। अधिकतम क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2})} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} 	imes \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$।

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