तीन समतलों पर विचार करें:P_1: x-y+z=1P_2: x+y | vedclass

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Question

(D) समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = (1, -1, 1)$,$\vec{n}_2 = (1, 1, -1)$,और $\vec{n}_3 = (1, -3, 3)$ हैं।रेखा $L_1$ ($P_2$ और $P_3$ का प्रतिच्छेदन)

Vedclass · Accepted Answer

कथन-$1$ असत्य है,कथन-$2$ सत्य है

Vedclass · Answer

(D) समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = (1, -1, 1)$,$\vec{n}_2 = (1, 1, -1)$,और $\vec{n}_3 = (1, -3, 3)$ हैं।रेखा $L_1$ ($P_2$ और $P_3$ का प्रतिच्छेदन) का दिशा सदिश $\vec{v}_1 = \vec{n}_2 	imes \vec{n}_3 = (0, -4, -4)$ है,जो $(0, 1, 1)$ के समांतर है।रेखा $L_2$ ($P_3$ और $P_1$ का प्रतिच्छेदन) का दिशा सदिश $\vec{v}_2 = \vec{n}_3 	imes \vec{n}_1 = (0, 2, 2)$ है,जो $(0, 1, 1)$ के समांतर है।रेखा $L_3$ ($P_1$ और $P_2$ का प्रतिच्छेदन) का दिशा सदिश $\vec{v}_3 = \vec{n}_1 	imes \vec{n}_2 = (0, 2, 2)$ है,जो $(0, 1, 1)$ के समांतर है।चूंकि सभी रेखाएँ $L_1, L_2, L_3$ एक ही दिशा सदिश $(0, 1, 1)$ रखती हैं,इसलिए वे सभी एक-दूसरे के समांतर हैं। अतः,$	ext{कथन}-1$ असत्य है।$	ext{कथन}-2$ के लिए,हम समीकरणों को हल करके जाँचते हैं कि क्या निकाय का कोई उभयनिष्ठ बिंदु है। $P_1$ और $P_2$ को जोड़ने पर $2x = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 0$ है। $x=0$ को $P_1$ और $P_2$ में रखने पर $-y+z=1$ और $y-z=-1$ प्राप्त होते हैं,जो समान हैं। $x=0$ को $P_3$ में रखने पर $-3y+3z=2$ या $-y+z=2/3$ प्राप्त होता है। चूँकि $1 
eq 2/3$,इसलिए निकाय का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। अतः,$	ext{कथन}-2$ सत्य है।

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