x के सापेक्ष फलन का अवकलन कीजिए: cot ^{-1}lef | vedclass

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Question

(C) माना $y = \cot ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right]$.हम जानते हैं कि $1+\sin x = \cos^2 \frac

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$\frac{1}{2}$

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(C) माना $y = \cot ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right]$.हम जानते हैं कि $1+\sin x = \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$.इसी प्रकार,$1-\sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$.चूंकि $0  \sin \frac{x}{2}$.अतः,$\sqrt{1+\sin x} = \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}$ और $\sqrt{1-\sin x} = \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}$.इन मानों को व्यंजक में रखने पर:$y = \cot ^{-1}\left[\frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) + (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) - (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}\right]$$y = \cot ^{-1}\left[\frac{2\cos \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}}\right]$$y = \cot ^{-1}(\cot \frac{x}{2}) = \frac{x}{2}$.अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$.

$x$ के सापेक्ष फलन का अवकलन कीजिए: $\cot ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right]$,जहाँ $0 < x < \frac{\pi}{2}$.

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