જે ઉપવલયનું નાભિલંબ તેની બે નાભિઓ વચ્ચેના અંતર જેટલું હોય,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

$L_1^{\prime}$ એ ઉપવલય $3x^2 + 4y^2 = 12$ ના નાભિલંબનું અંત્યબિંદુ છે જે ત્રીજા ચરણમાં આવેલું છે. જો આ ઉપવલય પર $L_1^{\prime}$ આગળ દોરેલો અભિલંબ ઉપવલયને ફરીથી બિંદુ $P(a, b)$ માં છેદે,તો $a =$

એક ઉપવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $6$ એકમ છે અને નાભિ તથા તેના મુખ્ય અક્ષ પરના નજીકના શિરોબિંદુ વચ્ચેનું અંતર $\frac{5}{3}$ એકમ છે. જો $e$ એ આ ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો $e$ નીચેનામાંથી કયા સમીકરણનું સમાધાન કરે છે?

ઉપવલય $9x^2 + 16y^2 = 288$ ને સ્પર્શતી રેખા જે યામ અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે, તે $X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે. તો $\text{Area}(\triangle OAB) = $ (જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે)

$c$ ની કઈ કિંમતો માટે રેખા $y=4x+c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ ને સ્પર્શે છે?

ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ ના નાભિલંબના તમામ અંત્યબિંદુઓ પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે. આ રીતે બનતા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?