निम्नलिखित फलनों के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) की प्रयोज्यता की जाँच कीजिए:
$(i)$ $f(x) = [x]$,$x \in [5, 9]$ के लिए
$(ii)$ $f(x) = [x]$,$x \in [-2, 2]$ के लिए
$(iii)$ $f(x) = x^{2} - 1$,$x \in [1, 2]$ के लिए

(N/A) माध्य मान प्रमेय के अनुसार,यदि फलन $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ के लिए:
a) $f$,$[a, b]$ पर संतत है
b) $f$,$(a, b)$ पर अवकलनीय है
तो,एक ऐसा $c \in (a, b)$ विद्यमान है जिसके लिए $f^{\prime}(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ होता है।
$(i)$ $f(x) = [x]$,$x \in [5, 9]$ के लिए। महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ पूर्णांक बिंदुओं पर संतत नहीं होता है। चूँकि $[5, 9]$ में पूर्णांक संख्याएँ हैं,इसलिए $f(x)$,$[5, 9]$ पर संतत नहीं है। अतः,माध्य मान प्रमेय लागू नहीं होता है।
$(ii)$ $f(x) = [x]$,$x \in [-2, 2]$ के लिए। $(i)$ की तरह ही,यह फलन पूर्णांक बिंदुओं पर संतत नहीं है। अतः,माध्य मान प्रमेय लागू नहीं होता है।
$(iii)$ $f(x) = x^{2} - 1$,$x \in [1, 2]$ के लिए। $f(x)$ एक बहुपद फलन है,जो $[1, 2]$ पर संतत है और $(1, 2)$ पर अवकलनीय है। अतः,माध्य मान प्रमेय लागू होता है।
यहाँ $f^{\prime}(c) = \frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = \frac{3 - 0}{1} = 3$ है। चूँकि $f^{\prime}(x) = 2x$,इसलिए $2c = 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $c = 1.5$। चूँकि $1.5 \in (1, 2)$,इसलिए प्रमेय मान्य है।