$R$ વ્યાસ ધરાવતું વર્તુળ,જે $x^2 + y^2 - 4y = 0$ ને સ્પર્શે છે અને $(4, 5)$ માંથી પસાર થાય છે,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

વર્તુળો $(x - 1)^2 + y^2 = 10$ અને $x^2 + (y - 2)^2 = 5$ જે ખૂણે છેદે છે તે

$(0, 3)$ પર કેન્દ્ર ધરાવતા અને ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ ના નાભિઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.

વર્તુળ $C_1: x^2+y^2=3$,જેનું કેન્દ્ર $O$ છે,તે પરવલય $x^2=2y$ ને પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $P$ પર છેદે છે. ધારો કે $P$ આગળ વર્તુળ $C_1$ ને સ્પર્શક અન્ય બે વર્તુળો $C_2$ અને $C_3$ ને અનુક્રમે $R_2$ અને $R_3$ પર સ્પર્શે છે. ધારો કે $C_2$ અને $C_3$ ની ત્રિજ્યા સમાન $2\sqrt{3}$ છે અને તેમના કેન્દ્રો અનુક્રમે $Q_2$ અને $Q_3$ છે. જો $Q_2$ અને $Q_3$ એ $y$-અક્ષ પર આવેલા હોય,તો:
$(A)$ $Q_2Q_3=12$
$(B)$ $R_2R_3=4\sqrt{6}$
$(C)$ ત્રિકોણ $OR_2R_3$ નું ક્ષેત્રફળ $6\sqrt{2}$ છે
$(D)$ ત્રિકોણ $PQ_2Q_3$ નું ક્ષેત્રફળ $4\sqrt{2}$ છે

બે વર્તુળો $x^2 + y^2 - 4x - 12 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 4x - 12 = 0$ ના સામાન્ય પ્રદેશમાં એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ અંતર્ગત છે,જેના બે શિરોબિંદુઓ વર્તુળોના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા પર આવેલા છે. સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો:

જો $\theta$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=16$ અને ઉપવલય $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ ના સામાન્ય સ્પર્શક દ્વારા ધન $X$-અક્ષ સાથે બનાવેલ ખૂણો હોય,તો $\cos 2 \theta=$