एक युगपत रैखिक समीकरण निकाय के लिए, यदि A X=l | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $A X=\left[\begin{array}{l}1 \ 1 \ 2\end{array}ight]$ और $\operatorname{Adj} A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \ 1 & 1 & -

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$\left[\begin{array}{c}-1 \ 0 \ 2\end{array}ight]$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $A X=\left[\begin{array}{l}1 \ 1 \ 2\end{array}ight]$ और $\operatorname{Adj} A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \ 1 & 1 & -1 \ 1 & 1 & 1\end{array}ight]$ है।हम जानते हैं कि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{Adj} A$ होता है।$A X = B$ को दोनों पक्षों में $A^{-1}$ से गुणा करने पर, हमें $X = A^{-1} B = \frac{1}{|A|} \operatorname{Adj} A \cdot B$ प्राप्त होता है।$X = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \ 1 & 1 & -1 \ 1 & 1 & 1\end{array}ight] \left[\begin{array}{l}1 \ 1 \ 2\end{array}ight]$।आव्यूह गुणन करने पर:$X = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{c}1(1) + (-1)(1) + (-1)(2) \ 1(1) + 1(1) + (-1)(2) \ 1(1) + 1(1) + 1(2)\end{array}ight] = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{c}1 - 1 - 2 \ 1 + 1 - 2 \ 1 + 1 + 2\end{array}ight] = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{c}-2 \ 0 \ 4\end{array}ight]$।चूंकि $|A| > 0$ है, हम दिए गए $\operatorname{Adj} A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं। हम जानते हैं कि $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{n-1}$, जहाँ $n=3$ है।$|\operatorname{Adj} A| = 1(1+1) - (-1)(1+1) + (-1)(1-1) = 2 + 2 + 0 = 4$।अतः, $|A|^2 = 4 \implies |A| = 2$ (क्योंकि $|A| > 0$ है)।$X$ के समीकरण में $|A| = 2$ रखने पर:$X = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{c}-2 \ 0 \ 4\end{array}ight] = \left[\begin{array}{c}-1 \ 0 \ 2\end{array}ight]$।अतः, विकल्प $A$ सही है।

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मान लीजिए $\lambda \in R$ है। रैखिक समीकरणों का निकाय
$2x_{1} - 4x_{2} + \lambda x_{3} = 1$
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