यदि x और y समीकरणों द्वारा प्राचलिक रूप से जु | vedclass

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Question

(A) दिए गए समीकरण $x = \frac{\sin^3 t}{\sqrt{\cos 2t}}$ और $y = \frac{\cos^3 t}{\sqrt{\cos 2t}}$ हैं।सबसे पहले,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करक

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$-\cot 3t$

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(A) दिए गए समीकरण $x = \frac{\sin^3 t}{\sqrt{\cos 2t}}$ और $y = \frac{\cos^3 t}{\sqrt{\cos 2t}}$ हैं।सबसे पहले,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $\frac{dx}{dt}$ ज्ञात करें:$\frac{dx}{dt} = \frac{\sqrt{\cos 2t} \cdot \frac{d}{dt}(\sin^3 t) - \sin^3 t \cdot \frac{d}{dt}(\sqrt{\cos 2t})}{\cos 2t}$$= \frac{\sqrt{\cos 2t} \cdot 3\sin^2 t \cos t - \sin^3 t \cdot \frac{1}{2\sqrt{\cos 2t}} \cdot (-2\sin 2t)}{\cos 2t}$$= \frac{3\cos 2t \sin^2 t \cos t + \sin^3 t \sin 2t}{(\cos 2t)^{3/2}}$इसके बाद,भागफल नियम का उपयोग करके $\frac{dy}{dt}$ ज्ञात करें:$\frac{dy}{dt} = \frac{\sqrt{\cos 2t} \cdot \frac{d}{dt}(\cos^3 t) - \cos^3 t \cdot \frac{d}{dt}(\sqrt{\cos 2t})}{\cos 2t}$$= \frac{\sqrt{\cos 2t} \cdot 3\cos^2 t (-\sin t) - \cos^3 t \cdot \frac{1}{2\sqrt{\cos 2t}} \cdot (-2\sin 2t)}{\cos 2t}$$= \frac{-3\cos 2t \cos^2 t \sin t + \cos^3 t \sin 2t}{(\cos 2t)^{3/2}}$अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-3\cos 2t \cos^2 t \sin t + \cos^3 t \sin 2t}{3\cos 2t \sin^2 t \cos t + \sin^3 t \sin 2t}$$\sin 2t = 2\sin t \cos t$ प्रतिस्थापित करने पर:$= \frac{\sin t \cos t [-3\cos 2t \cos t + 2\cos^3 t]}{\sin t \cos t [3\cos 2t \sin t + 2\sin^3 t]}$$= \frac{-3(2\cos^2 t - 1)\cos t + 2\cos^3 t}{3(1 - 2\sin^2 t)\sin t + 2\sin^3 t}$$= \frac{-6\cos^3 t + 3\cos t + 2\cos^3 t}{3\sin t - 6\sin^3 t + 2\sin^3 t} = \frac{-4\cos^3 t + 3\cos t}{3\sin t - 4\sin^3 t}$सर्वसमिकाओं $\cos 3t = 4\cos^3 t - 3\cos t$ और $\sin 3t = 3\sin t - 4\sin^3 t$ का उपयोग करने पर:$= \frac{-(\cos 3t)}{\sin 3t} = -\cot 3t$.

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