જો $A.P.$ ના $p^{\text{th}}, q^{\text{th}}, r^{\text{th}}$ અને $s^{\text{th}}$ પદો $G.P.$ માં હોય,તો સાબિત કરો કે $(p-q), (q-r)$ અને $(r-s)$ પણ $G.P.$ માં છે.

(N/A) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
પદો $a_p = a + (p-1)d, a_q = a + (q-1)d, a_r = a + (r-1)d, a_s = a + (s-1)d$ છે.
$a_p, a_q, a_r, a_s$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,સામાન્ય ગુણોત્તર $k = \frac{a_q}{a_p} = \frac{a_r}{a_q} = \frac{a_s}{a_r}$ છે.
ગુણોત્તરના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a_q - a_r}{a_p - a_q} = \frac{a_q(1 - k)}{a_p(1 - k)} = \frac{a_q}{a_p} = k$.
વળી,$a_q - a_r = (q-r)d$ અને $a_p - a_q = (p-q)d$.
તેથી,$k = \frac{(q-r)d}{(p-q)d} = \frac{q-r}{p-q}$.
તે જ રીતે,$\frac{a_r - a_s}{a_q - a_r} = \frac{a_r}{a_q} = k = \frac{r-s}{q-r}$.
બંને ગુણોત્તર $k$ સમાન હોવાથી,$\frac{q-r}{p-q} = \frac{r-s}{q-r},$ જે દર્શાવે છે કે $(p-q), (q-r), (r-s)$ એ $G.P.$ માં છે.