यदि एक $A.P.$ के $p^{\text{th}}, q^{\text{th}}, r^{\text{th}}$ और $s^{\text{th}}$ पद $G.P.$ में हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $(p-q), (q-r)$ और $(r-s)$ भी $G.P.$ में हैं।

(N/A) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
पद $a_p = a + (p-1)d, a_q = a + (q-1)d, a_r = a + (r-1)d, a_s = a + (s-1)d$ हैं।
चूंकि $a_p, a_q, a_r, a_s$ $G.P.$ में हैं,सार्व अनुपात $k = \frac{a_q}{a_p} = \frac{a_r}{a_q} = \frac{a_s}{a_r}$ है।
अनुपात के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\frac{a_q - a_r}{a_p - a_q} = \frac{a_q(1 - k)}{a_p(1 - k)} = \frac{a_q}{a_p} = k$.
साथ ही,$a_q - a_r = (q-r)d$ और $a_p - a_q = (p-q)d$.
अतः,$k = \frac{(q-r)d}{(p-q)d} = \frac{q-r}{p-q}$.
इसी प्रकार,$\frac{a_r - a_s}{a_q - a_r} = \frac{a_r}{a_q} = k = \frac{r-s}{q-r}$.
चूंकि दोनों अनुपात $k$ के बराबर हैं,इसलिए $\frac{q-r}{p-q} = \frac{r-s}{q-r},$ जो दर्शाता है कि $(p-q), (q-r), (r-s)$ $G.P.$ में हैं।