જો (sqrt{3}+i)^{100}=2^{99}(p+iq) હોય,તો p અન | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે $(\sqrt{3}+i)^{100}=2^{99}(p+iq)$.$\sqrt{3}+i$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં લખતા: $2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})$.ડી મોઇવરના પ્રમેય

Vedclass · Accepted Answer

$x^{2}-(\sqrt{3}-1)x-\sqrt{3}=0$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે $(\sqrt{3}+i)^{100}=2^{99}(p+iq)$.$\sqrt{3}+i$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં લખતા: $2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})$.ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $(2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}))^{100} = 2^{100}(\cos \frac{50\pi}{3} + i \sin \frac{50\pi}{3})$.$\frac{50\pi}{3} = 16\pi + \frac{2\pi}{3}$ હોવાથી,$\cos \frac{50\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ અને $\sin \frac{50\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.તેથી,$2^{100}(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2^{99}(p+iq)$.$2^{99}$ વડે ભાગતા,$2(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = p+iq$,એટલે કે $p = -1$ અને $q = \sqrt{3}$.$p$ અને $q$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (p+q)x + pq = 0$ છે.$p+q = \sqrt{3}-1$ અને $pq = -\sqrt{3}$.તેથી,સમીકરણ $x^2 - (\sqrt{3}-1)x - \sqrt{3} = 0$ છે.

જો $(\sqrt{3}+i)^{100}=2^{99}(p+iq)$ હોય,તો $p$ અને $q$ એ કયા સમીકરણના બીજ છે?

Similar Questions

જો $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $x^2 - 2x + 4 = 0$ ના બીજ હોય,તો $\alpha^n + \beta^n$ ની કિંમત શોધો.

$(\sqrt{3}-i)^{\frac{1}{6}}$ ની કિંમતો પૈકીની એક કિંમત કઈ છે?

જો $1, \omega, \omega^2$ એ એકમના ઘનમૂળ હોય,$n \in \mathbb{N}$ અને $n > 2$ હોય,તો $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો જેથી $1+\omega$ એ $x^n-x=0$ નું બીજ હોય.

જો $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2-x+1=0$ ના બીજ હોય,તો $\alpha^{2009}+\beta^{2009}$ ની કિંમત શોધો.

$n$ ની એવી કિંમત શોધો કે જેથી $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^n=1$ થાય.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module