જો $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^{2}+(3)^{1/4}x+3^{1/2}=0$ ના ભિન્ન બીજ હોય,તો $\alpha^{96}(\alpha^{12}-1) + \beta^{96}(\beta^{12}-1)$ ની કિંમત કેટલી થાય?

જો તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ માટે $\left|\frac{x^2+k x+1}{x^2+x+1}\right| < 3$ હોય,તો પ્રાચલ $k$ નો વિસ્તાર શોધો.

જો દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + (2 - \tan \theta)x - (1 + \tan \theta) = 0$ ના $2$ પૂર્ણાંક બીજ હોય,અને અંતરાલ $(0, 2\pi)$ માં $\theta$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $k\pi$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

જો $\cos^4 \theta + \alpha$ અને $\sin^4 \theta + \alpha$ એ સમીકરણ $x^2 + 2bx + b = 0$ ના બીજ હોય અને $\cos^2 \theta + \beta$ અને $\sin^2 \theta + \beta$ એ સમીકરણ $x^2 + 4x + 2 = 0$ ના બીજ હોય,તો $b$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $x^{2}-4 \lambda x+5=0$ ના બીજ છે અને $\alpha, \gamma$ એ સમીકરણ $x^{2}-(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}) x+7+3 \lambda \sqrt{3}=0$ ના બીજ છે. જો $\beta+\gamma=3 \sqrt{2}$ હોય,તો $(\alpha+2 \beta+\gamma)^{2}$ ની કિંમત શોધો.

જો $x$ વાસ્તવિક હોય,તો પદાવલિ $\frac{x + 2}{2x^2 + 3x + 6}$ કયા અંતરાલમાં તમામ કિંમતો ધારણ કરે છે?