यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^{2}-\left(5+3^{\sqrt{\log _{3} 5}}-5^{\sqrt{\log _{5} 3}}\right)x+3\left(3^{\left(\log _{3} 5\right)^{\frac{1}{3}}}-5^{\left(\log _{5} 3\right)^{\frac{2}{3}}}-1\right)=0$ के मूल हैं,तो वह समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल $\alpha+\frac{1}{\beta}$ और $\beta+\frac{1}{\alpha}$ हैं।

मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2-x-1=0$ के मूल हैं,जहाँ $\alpha>\beta$ है। सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए,$a_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}, n \geq 1$ और $b_1=1$ तथा $b_n=a_{n-1}+a_{n+1}, n \geq 2$ परिभाषित करें। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $\sum_{i=1}^{n} a_i = a_{n+2}-1$ सभी $n \geq 1$ के लिए
$(2)$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{10^n} = \frac{10}{89}$
$(3)$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{10^n} = \frac{8}{89}$
$(4)$ $b_n = \alpha^n+\beta^n$ सभी $n \geq 1$ के लिए

यदि $a$ और $b$,$x^2 - px + q = 0$ के मूल हैं,तो $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = $

यदि $x_1$ और $x_2$ समीकरण $x^2-kx+c=0$ के वास्तविक मूल हैं,तो बिंदुओं $A(x_1, 0)$ और $B(x_2, 0)$ के बीच की दूरी क्या है?

यदि $Ax^2 + Bx + C = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं और $x^2 + px + q = 0$ के मूल $\alpha^2$ और $\beta^2$ हैं,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2+ax+2=0$ के मूल हैं और $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}$ समीकरण $x^2-bx+c=0$ के मूल हैं,तो $\left(\alpha+\frac{1}{\beta}\right)\left(\beta+\frac{1}{\alpha}\right)\left(\alpha-\frac{1}{\alpha}\right)\left(\beta-\frac{1}{\beta}\right) = $