જો f : R rightarrow R એક સતત વિધેય હોય જે int | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int \limits_0^{\pi / 2} f(\sin 2x) \sin x \, dx + \alpha \int \limits_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \cos x \, dx = 0$. પ્રથમ સંકલનને $\frac

Vedclass · Accepted Answer

$-\sqrt{2}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int \limits_0^{\pi / 2} f(\sin 2x) \sin x \, dx + \alpha \int \limits_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \cos x \, dx = 0$. પ્રથમ સંકલનને $\frac{\pi}{4}$ પર વિભાજિત કરો: $I = \int \limits_0^{\pi / 4} f(\sin 2x) \sin x \, dx + \int \limits_{\pi / 4}^{\pi / 2} f(\sin 2x) \sin x \, dx + \alpha \int \limits_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \cos x \, dx = 0$. પ્રથમ સંકલનમાં,ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરો: $\int_0^{\pi / 4} f(\sin 2x) \sin x \, dx = \int_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \sin(\frac{\pi}{4}-x) \, dx$. બીજા સંકલનમાં $x = \frac{\pi}{4} + t$ આદેશ લેતા: $\int_{\pi / 4}^{\pi / 2} f(\sin 2x) \sin x \, dx = \int_0^{\pi / 4} f(\cos 2t) \sin(\frac{\pi}{4}+t) \, dt$. આ બંનેને જોડતા: $\int_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) [\sin(\frac{\pi}{4}-x) + \sin(\frac{\pi}{4}+x) + \alpha \cos x] \, dx = 0$. $\sin(A-B) + \sin(A+B) = 2 \sin A \cos B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sin(\frac{\pi}{4}-x) + \sin(\frac{\pi}{4}+x) = \sqrt{2} \cos x$. તેથી,$(\sqrt{2} + \alpha) \int_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \cos x \, dx = 0$. આમ,$\alpha = -\sqrt{2}$.

જો $f : R \rightarrow R$ એક સતત વિધેય હોય જે $\int \limits_0^{\pi / 2} f(\sin 2x) \cdot \sin x \, dx + \alpha \int \limits_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \cdot \cos x \, dx = 0$ નું સમાધાન કરે,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\int_{-1}^{1} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \, dx = $

સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_{-1}^{1} \left[ \sqrt{1+x+x^{2}} - \sqrt{1-x+x^{2}} \right] dx$

$ \int_{-3}^{3} \cot^{-1} x \, dx = $

$\int_{-\pi}^\pi \frac{2 x(1+\sin x)}{1+\cos ^2 x} d x=$

$\int_{-2}^{2}(a x^{3}+b x+c) d x$ નું મૂલ્ય કોના પર આધાર રાખે છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module