यदि |z_1 + z_2| = |z_1 - z_2| है,तो z_1 और z_ | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $|z_1 + z_2| = |z_1 - z_2|$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|z_1 + z_2|^2 = |z_1 - z_2|^2$ प्राप्त होता है।$(z_1 + z_2)(\overline{z_1} +

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$\frac{\pi}{2}$

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(C) दिया गया है $|z_1 + z_2| = |z_1 - z_2|$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|z_1 + z_2|^2 = |z_1 - z_2|^2$ प्राप्त होता है।$(z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2}) = (z_1 - z_2)(\overline{z_1} - \overline{z_2})$.$|z_1|^2 + z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2 + |z_2|^2 = |z_1|^2 - z_1\overline{z_2} - \overline{z_1}z_2 + |z_2|^2$.$2(z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2) = 0$,जिसका अर्थ है $z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2 = 0$.इसका मतलब है $2Re(z_1\overline{z_2}) = 0$,इसलिए $z_1\overline{z_2}$ शुद्ध काल्पनिक है।मान लीजिए $z_1 = r_1 e^{i	heta_1}$ और $z_2 = r_2 e^{i	heta_2}$ है।तब $z_1\overline{z_2} = r_1 r_2 e^{i(	heta_1 - 	heta_2)} = r_1 r_2 (\cos(	heta_1 - 	heta_2) + i\sin(	heta_1 - 	heta_2))$।चूंकि $z_1\overline{z_2}$ शुद्ध काल्पनिक है,इसका वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए: $\cos(	heta_1 - 	heta_2) = 0$।अतः,$	heta_1 - 	heta_2 = \pm \frac{\pi}{2}$।

यदि $|z_1 + z_2| = |z_1 - z_2|$ है,तो $z_1$ और $z_2$ के आयामों (amplitudes) में अंतर क्या है?

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समुच्चय $\{z \in \mathbb{C} : 0 \leq \operatorname{Re}(z) \leq 1, 0 \leq \operatorname{Im}(z) \leq 1\}$ पर $e^{z^2}$ के मापांक का अधिकतम मान क्या है?

यदि $z_1$ और $z_2$ समीकरण $z^2+az+b=0$ के दो मूल हैं जहाँ $a^2 < 4b$, तो मूल बिंदु, $z_1$ और $z_2$ एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं यदि

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