यदि $f(x)$ बिंदु $x = 3$ पर सतत है जहाँ $f(x) = \begin{cases} ax + 1, & \text{for } x \leq 3 \\ bx + 3, & \text{for } x > 3 \end{cases}$,तो

$f(x) = \left[ \frac{x^2 + 1}{x^2[|x|] + 1} \right]$ कहाँ असतत (discontinuous) है? (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)

फलन $f(x) = \frac{(27 - 2x)^{1/3} - 3}{9 - 3(243 + 5x)^{1/5}}, (x \ne 0)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए $f(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f:[0, \pi] \rightarrow R$ को $f(x)=\begin{cases} \sin x, & \text{यदि } x \text{ अपरिमेय है और } x \in[0, \pi] \\ \tan^2 x, & \text{यदि } x \text{ परिमेय है और } x \in[0, \pi] \end{cases}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। $[0, \pi]$ में उन बिंदुओं की संख्या जहाँ फलन $f$ सतत है,है

कथन $1$: एक फलन $f: R \to R$,$x_0$ पर सतत है यदि और केवल यदि $\lim_{x \to x_0} f(x)$ का अस्तित्व है और $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ है।
कथन $2$: एक फलन $f: R \to R$,$x_0$ पर असतत है यदि और केवल यदि $\lim_{x \to x_0} f(x)$ का अस्तित्व है और $\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$ है।

यदि फलन $f$ जो $f(x) = \begin{cases} \cos x, & \text{यदि } x \leq 0 \\ 3x + \alpha, & \text{यदि } 0 < x < 2 \\ \beta x + 3, & \text{यदि } 2 \leq x \leq 4 \\ 11, & \text{यदि } x > 4 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $\alpha$ और $\beta$ वास्तविक स्थिरांक हैं,और यह $R$ पर सतत है,तो $\alpha^2 + \beta^2 =$