यदि A = begin{bmatrix} 1 & 2 -1 & 4 end{bmat | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ -1 & 4 \end{bmatrix}$.सबसे पहले,हम $|A - \lambda I| = 0$ का उपयोग करके $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण ज्ञात कर

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$\frac{8}{3}$

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(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ -1 & 4 \end{bmatrix}$.सबसे पहले,हम $|A - \lambda I| = 0$ का उपयोग करके $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण ज्ञात करते हैं।$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 \ -1 & 4 - \lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)(4 - \lambda) - (-2) = \lambda^2 - 5\lambda + 4 + 2 = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$.केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A^2 - 5A + 6I = 0$.$A^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $A - 5I + 6A^{-1} = 0$.$6A^{-1} = 5I - A$.$A^{-1} = \frac{5}{6}I - \frac{1}{6}A$.इसकी तुलना $A^{-1} = \alpha I + \beta A$ से करने पर,हमें $\alpha = \frac{5}{6}$ और $\beta = -\frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।अतः,$\alpha + \beta = \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.इसलिए,$4(\alpha + \beta) = 4 	imes \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$.

यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$ और $A^{-1} = \alpha I + \beta A$,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ और $I$ कोटि $2$ का तत्समक आव्यूह है,तो $4(\alpha + \beta) = $

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