यदि f(x) = begin{cases} frac{1-cos Kx}{x sin | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x 	o 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।अतः,$\lim_{x 	o 0} \frac{1-\cos Kx}{x \sin x} = \frac{1

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$\pm 1$

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(D) दिया गया है कि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x 	o 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।अतः,$\lim_{x 	o 0} \frac{1-\cos Kx}{x \sin x} = \frac{1}{2}$।त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1-\cos 	heta = 2 \sin^2(\frac{	heta}{2})$ का उपयोग करने पर:$\lim_{x 	o 0} \frac{2 \sin^2(\frac{Kx}{2})}{x \sin x} = \frac{1}{2}$।अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:$\lim_{x 	o 0} \frac{2 \left(\frac{\sin(Kx/2)}{x}ight)^2}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{1}{2}$।अंश में $(\frac{K}{2})^2$ से गुणा और भाग करने पर:$\lim_{x 	o 0} \frac{2 \cdot (\frac{K}{2})^2 \cdot (\frac{\sin(Kx/2)}{Kx/2})^2}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{1}{2}$।चूंकि $\lim_{	heta 	o 0} \frac{\sin 	heta}{	heta} = 1$,इसलिए:$2 \cdot \frac{K^2}{4} \cdot \frac{1^2}{1} = \frac{1}{2}$।$\frac{K^2}{2} = \frac{1}{2} \implies K^2 = 1$।अतः,$K = \pm 1$।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos Kx}{x \sin x}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ \frac{1}{2}, & \text{यदि } x=0 \end{cases}$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

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