જો z = frac{sqrt{3} + i}{2} હોય,તો left(z^{10 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે,$z = \frac{\sqrt{3} + i}{2} = \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$.ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z^{101}

Vedclass · Accepted Answer

$i$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે,$z = \frac{\sqrt{3} + i}{2} = \cos \left(\frac{\pi}{6}ight) + i \sin \left(\frac{\pi}{6}ight)$.ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z^{101} = \cos \left(\frac{101\pi}{6}ight) + i \sin \left(\frac{101\pi}{6}ight)$.કારણ કે $\frac{101\pi}{6} = 17\pi - \frac{\pi}{6}$,તેથી $z^{101} = \cos \left(17\pi - \frac{\pi}{6}ight) + i \sin \left(17\pi - \frac{\pi}{6}ight) = -\cos \left(\frac{\pi}{6}ight) + i \sin \left(\frac{\pi}{6}ight) = \frac{-\sqrt{3} + i}{2}$.વળી,$i^{103} = i^{100} 	imes i^3 = 1 	imes (-i) = -i$.આમ,$z^{101} + i^{103} = \frac{-\sqrt{3} + i}{2} - i = \frac{-\sqrt{3} - i}{2} = -\left(\frac{\sqrt{3} + i}{2}ight) = -z$.તેથી,$\left(z^{101} + i^{103}ight)^{105} = (-z)^{105} = -z^{105}$.$z^{105} = \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}ight)^{105} = \cos \frac{105\pi}{6} + i \sin \frac{105\pi}{6} = \cos \frac{35\pi}{2} + i \sin \frac{35\pi}{2}$.કારણ કે $\frac{35\pi}{2} = 18\pi - \frac{\pi}{2}$,તેથી $z^{105} = \cos \left(-\frac{\pi}{2}ight) + i \sin \left(-\frac{\pi}{2}ight) = 0 - i = -i$.અંતે,$-z^{105} = -(-i) = i$.

જો $z = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$ હોય,તો $\left(z^{101} + i^{103}\right)^{105} = $

Similar Questions

સમીકરણ $x^{3}-2x^{2}+2x-1=0$ ના બીજના $162^{\text{th}}$ ઘાતનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો $x = \cos \theta + i\sin \theta$ અને $y = \cos \phi + i\sin \phi$ હોય,તો ${x^m}{y^n} + {x^{-m}}{y^{-n}}$ ની કિંમત શું થાય?

જો $i$ એ સમીકરણ $x^2+1=0$ નું બીજ હોય,તો $(1+\sqrt{3}i)^{2023}+(1-\sqrt{3}i)^{2023}=$

જો $x$ એ $1$ સિવાયનું એકમનું ઘનમૂળ હોય,તો $\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2+\ldots+\left(x^{12}+\frac{1}{x^{12}}\right)^2=$

${\left( \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \right)^{20}} + {\left( \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} \right)^{20}} = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module