જો $f: A \rightarrow B$ અને $g: B \rightarrow C$ એવા વિધેયો હોય કે જેથી $g \circ f: A \rightarrow C$ વ્યાપ્ત (onto) હોય,તો જરૂરી શરત કઈ છે?

ધારો કે $f: R - \{-\frac{1}{2}\} \rightarrow R$ અને $g: R - \{-\frac{5}{2}\} \rightarrow R$ એ $f(x) = \frac{2x+3}{2x+1}$ અને $g(x) = \frac{|x|+1}{2x+5}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. તો વિધેય $f \circ g$ નો પ્રદેશ શું છે?

ધારો કે એક સંબંધ $R$ એ $R = \{(4, 5), (1, 4), (4, 6), (7, 6), (3, 7)\}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તો ${R^{ - 1}}oR$ શું છે?

$f: N \rightarrow N$,$g: N \rightarrow N$,અને $h: N \rightarrow R$ ધ્યાનમાં લો,જે $f(x) = 2x$,$g(y) = 3y + 4$,અને $h(z) = \sin z$,$\forall x, y, z \in N$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=3 x^2-5$ દ્વારા અને $g: R \rightarrow R$ એ $g(x)=\frac{x}{x^2+1}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તો $g \circ f$ શું છે?

ધારો કે $x \neq 1$ માટે $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ છે. ધારો કે $f^1(x) = f(x)$,$f^2(x) = f(f(x))$ અને સામાન્ય રીતે $n > 1$ માટે $f^n(x) = f(f^{n-1}(x))$ છે. ધારો કે $P = f^1(2) \cdot f^2(3) \cdot f^3(4) \cdot f^4(5)$ છે. નીચેનામાંથી કયું $P$ નો ગુણક છે?