यदि f: Z rightarrow Z को f(x)=begin{cases} fr | vedclass

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Question

(A) दिया गया है,$f: Z ightarrow Z$ जहाँ $f(x)=\begin{cases} \frac{x}{2}, & 	ext{यदि } x 	ext{ सम है} \ 0, & 	ext{यदि } x 	ext{ विषम है} \end{ca

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आच्छादक (onto) है लेकिन एकैकी (one-to-one) नहीं

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है,$f: Z ightarrow Z$ जहाँ $f(x)=\begin{cases} \frac{x}{2}, & 	ext{यदि } x 	ext{ सम है} \ 0, & 	ext{यदि } x 	ext{ विषम है} \end{cases}$ है।एकैकी (one-to-one) जाँच के लिए: मान लीजिए $x_1 = 1$ और $x_2 = 3$ है। दोनों विषम हैं,इसलिए $f(1) = 0$ और $f(3) = 0$ है। चूँकि $f(1) = f(3)$ है लेकिन $1 
eq 3$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।आच्छादक (onto) जाँच के लिए: $f$ का परिसर सभी पूर्णांकों का समुच्चय $Z$ है। किसी भी पूर्णांक $y \in Z$ के लिए,हमें एक ऐसा $x \in Z$ मिल सकता है जिसके लिए $f(x) = y$ हो। यदि $y = 0$ है,तो $f(1) = 0$ है। यदि $y 
eq 0$ है,तो $x = 2y$ लें,जो कि सम है,तब $f(2y) = \frac{2y}{2} = y$ होगा। चूँकि परिसर सह-प्रांत $(Z)$ के बराबर है,इसलिए फलन आच्छादक है।अतः,$f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

यदि $f: Z \rightarrow Z$ को $f(x)=\begin{cases} \frac{x}{2}, & \text{यदि } x \text{ सम है} \\ 0, & \text{यदि } x \text{ विषम है} \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $f$ है

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