यदि int_{0}^{pi} log (sin x) dx = 8 k है,तो i | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{0}^{\pi / 4} \log (1 + 	an x) dx$ है।गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a - x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{0}^{\p

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$-k$

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(B) माना $I = \int_{0}^{\pi / 4} \log (1 + 	an x) dx$ है।गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a - x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{0}^{\pi / 4} \log (1 + 	an (\frac{\pi}{4} - x)) dx$ प्राप्त होता है।चूंकि $	an (\frac{\pi}{4} - x) = \frac{1 - 	an x}{1 + 	an x}$ है,इसलिए:$I = \int_{0}^{\pi / 4} \log (1 + \frac{1 - 	an x}{1 + 	an x}) dx = \int_{0}^{\pi / 4} \log (\frac{2}{1 + 	an x}) dx$ है।$I = \int_{0}^{\pi / 4} (\log 2 - \log (1 + 	an x)) dx = \frac{\pi}{4} \log 2 - I$ है।$2I = \frac{\pi}{4} \log 2 \implies I = \frac{\pi}{8} \log 2$ है।दिया गया है कि $\int_{0}^{\pi} \log (\sin x) dx = 8k$ है। हम जानते हैं कि $\int_{0}^{\pi} \log (\sin x) dx = -\pi \log 2$ होता है।अतः,$8k = -\pi \log 2 \implies \pi \log 2 = -8k$ है।इस मान को $I = \frac{\pi}{8} \log 2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \frac{1}{8} (-8k) = -k$ प्राप्त होता है।

यदि $\int_{0}^{\pi} \log (\sin x) dx = 8 k$ है,तो $\int_{0}^{\pi / 4} \log (1 + \tan x) dx =$

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