यदि f'(x) = frac{1}{x} + x और f(1) = frac{5}{ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $f'(x) = \frac{1}{x} + x$.$f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $f'(x)$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करेंगे:$f(x) = \int (\frac{1}{x} + x) dx = \

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$\log x + \frac{x^2}{2} + 2$

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(A) दिया गया है कि $f'(x) = \frac{1}{x} + x$.$f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $f'(x)$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करेंगे:$f(x) = \int (\frac{1}{x} + x) dx = \log|x| + \frac{x^2}{2} + C$.हमें $f(1) = \frac{5}{2}$ दिया गया है। समीकरण में $x = 1$ रखने पर:$f(1) = \log(1) + \frac{1^2}{2} + C = \frac{5}{2}$.चूंकि $\log(1) = 0$,इसलिए $0 + \frac{1}{2} + C = \frac{5}{2}$.$C = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.$C$ का मान $f(x)$ के व्यंजक में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:$f(x) = \log x + \frac{x^2}{2} + 2$.

यदि $f'(x) = \frac{1}{x} + x$ और $f(1) = \frac{5}{2}$ है,तो $f(x) = $

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$\int \frac{dx}{4x^2 + 9} = $

$\int \frac{x^5}{x^2+1} \, dx =$

$\int \frac{5(x^6+1)}{x^2+1} \, dx =$ (जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है।)

यदि $\int \frac{dx}{1 + \sin x} = \tan \left( \frac{x}{2} + a \right) + b$ है,तो

$\int {\frac{{a{x^{ - 2}} + b{x^{ - 1}} + c}}{{{x^{ - 3}}}}} \,dx = $

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