જો f(x) = e^{-x} + 2e^{-2x} + 3e^{-3x} + dots | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ શ્રેણી $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n(e^{-x})^n$ છે. આ $\sum nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}$ પ્રકારની શ્રેણી છે જ્યાં $x = e^{-x}$ છે.તેથી,$f(x) = \

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ શ્રેણી $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n(e^{-x})^n$ છે. આ $\sum nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}$ પ્રકારની શ્રેણી છે જ્યાં $x = e^{-x}$ છે.તેથી,$f(x) = \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}$.આપણે $I = \int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2} \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.ધારો કે $u = 1 - e^{-x}$. તો $du = e^{-x} \, dx$.જ્યારે $x = \ln 2$,ત્યારે $u = 1 - e^{-\ln 2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.જ્યારે $x = \ln 3$,ત્યારે $u = 1 - e^{-\ln 3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.તેથી,$I = \int_{1/2}^{2/3} \frac{1}{u^2} \, du = \left[ -\frac{1}{u} \right]_{1/2}^{2/3}$.$I = -\left( \frac{1}{2/3} - \frac{1}{1/2} \right) = -\left( \frac{3}{2} - 2 \right) = -\left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$.

જો $f(x) = e^{-x} + 2e^{-2x} + 3e^{-3x} + \dots + \infty$ હોય,તો $\int_{\ln 2}^{\ln 3} f(x) \, dx =$

Similar Questions

જો $[x]$ એ $x$ થી મોટું ન હોય તેવું મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય હોય,તો $\int_{0}^{11} [x] dx$ ની કિંમત શોધો.

જો $[x]$ એ $x$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવતું હોય, તો સંકલન $\int_{0}^{2} x^{2}[x] d x$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

$\int_0^3 \left(\sin \left(\frac{\pi}{3} x\right) - \cos \left(\frac{\pi}{3} x\right)\right) dx =$

$\int_{-2}^{1} [x+1] \, dx =$ (જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી મોટો ન હોય તેવું મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે)

જો $\int_0^b \frac{dx}{1+x^2} = \int_b^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$ હોય, તો $b$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module