यदि $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{यदि } x \leqslant x_0 \\ ax + b & \text{यदि } x > x_0 \end{cases}$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए अवकलनीय है,तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः क्या हैं?

मान लीजिए $f(x) = x|x|$ और $g(x) = \sin x$ है।
कथन-$1$: $gof$,$x=0$ पर अवकलनीय है और इसका अवकलज उस बिंदु पर सतत है।
कथन-$2$: $gof$,$x=0$ पर दो बार अवकलनीय है।

मान लीजिए $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। फलन $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} 2-2x^2-x^2 \sin \frac{1}{x} & \text{यदि } x \neq 0 \\ 2 & \text{यदि } x=0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित करें। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

मान लीजिए $f(x) = |x - \alpha| + |x - \beta|$, जहाँ $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 - 3x + 2 = 0$ के मूल हैं। तो $[\alpha, \beta]$ में उन बिंदुओं की संख्या क्या है जहाँ $f$ अवकलनीय नहीं है?

माना कि $f$,$D = R - \{-1, 1\}$ पर $f(x) = \frac{|x|}{1 - |x|}$ द्वारा परिभाषित है,तो

यदि $f(x + y) = f(x) + f(y) + |x|y + xy^2$,$\forall x, y \in R$ और $f'(0) = 0$ है,तो