यदि अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1+x}{2y}$ का हल बिंदु $(1, 1)$ से गुजरने वाला एक शांकव (conic) है,तो इसकी उत्केंद्रता (eccentricity) क्या है?

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{x+a}{y-2} = 0, y(1) = 0$ द्वारा परिबद्ध बंद वक्र $C$ का क्षेत्रफल $4\pi$ है। मान लीजिए कि $P$ और $Q$ वक्र $C$ और $y$-अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। यदि वक्र $C$ पर $P$ और $Q$ पर अभिलंब $x$-अक्ष को क्रमशः $R$ और $S$ बिंदुओं पर काटते हैं,तो रेखाखंड $RS$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

बर्फ का एक गोला उस क्षण मौजूद बर्फ की मात्रा के समानुपाती दर से पिघलता है। $20 \text{ मिनट}$ में आधी बर्फ पिघल जाती है। मान लीजिए $x_0$ बर्फ की प्रारंभिक मात्रा है। यदि $40 \text{ मिनट}$ बाद बची हुई बर्फ की मात्रा $Kx_0$ है,तो $K=$

मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $x dy - y dx = \sqrt{x^2 - y^2} dx$,$x \geq 1$,जहाँ $y(1) = 0$ का हल है। यदि रेखाओं $x = 1$,$x = e^{\pi}$,$y = 0$ और वक्र $y = y(x)$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल $\alpha e^{2\pi} + \beta$ है,तो $10(\alpha + \beta)$ का मान ....... है।

एक बैंक में,मूलधन प्रति वर्ष $x \%$ की दर से निरंतर बढ़ता है। यदि ₹$100$ $10$ वर्षों में दोगुना हो जाता है,तो दर $x$ क्या है ($\%$ में)? (दिया गया है $\log 2 = 0.6931$)

यदि किसी वस्तु को $110^{\circ} C$ तक गर्म किया जाता है और $10^{\circ} C$ तापमान वाली हवा में रखा जाता है,और $1 \text{ घंटे}$ बाद उसका तापमान $60^{\circ} C$ हो जाता है,तो उसे $30^{\circ} C$ तक ठंडा होने के लिए आवश्यक अतिरिक्त समय क्या है?