જો સમીકરણ $x^2-3ax+a^2-2a-K=0$ દરેક સંમેય સંખ્યા $a$ માટે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ ધરાવતું હોય,તો $K$ કયા અંતરાલમાં હશે?

જો $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2+x+1=0$ ના બીજ હોય,તો જે સમીકરણના બીજ $\alpha^{2023}$ અને $\beta^{1012}$ હોય તે દ્વિઘાત સમીકરણ કયું છે?

$1$ એકમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા ચોરસના શિરોબિંદુઓના $x$-યામ એ સમીકરણ $x^2 - 3|x| + 2 = 0$ ના બીજ છે અને શિરોબિંદુઓના $y$-યામ એ સમીકરણ $y^2 - 3y + 2 = 0$ ના બીજ છે,તો ચોરસના શક્ય શિરોબિંદુઓ કયા છે?

જો કેટલાક $p, q, r \in \mathbb{R}$ માટે,બધાના ચિહ્નો સમાન ન હોય,અને સમીકરણ $(p^{2}+q^{2})x^{2}-2q(p+r)x + q^{2}+r^{2}=0$ નું એક બીજ એ સમીકરણ $x^{2}+2x-8=0$ નું પણ બીજ હોય,તો $\frac{q^{2}+r^{2}}{p^{2}}$ ની કિંમત શોધો.

જો $a \in R$ નો એવો ગણ,જેના માટે સમીકરણ $2x^2 + (a-5)x + (15-3a) = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ ન હોય,તે અંતરાલ $(\alpha, \beta)$ હોય,અને $X = \{x \in Z : \alpha < x < \beta\}$ હોય,તો $\sum_{x \in X} x^2$ ની કિંમત શોધો.

જો ${x^2} + {y^2} = 25$ અને ${xy} = 12$ હોય,તો $x$ ની શક્ય કિંમતો કઈ છે?