यदि बिंदु $(1, 2)$ से वृत्तों $x^2 + y^2 + x + y - 4 = 0$ और $3x^2 + 3y^2 - x - y + k = 0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई का अनुपात $4 : 3$ है,तो $k =$

दिए गए अनुच्छेद में दी गई जानकारी के आधार पर सूचियों का उचित मिलान करके निम्नलिखित का उत्तर दें।
मान लीजिए कि वृत्त $C_1: x^2+y^2=9$ और $C_2: (x-3)^2+(y-4)^2=16$ बिंदुओं $X$ और $Y$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए कि एक अन्य वृत्त $C_3: (x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:
$(i)$ $C_3$ का केंद्र $C_1$ और $C_2$ के केंद्रों के साथ संरेख है।
$(ii)$ $C_1$ और $C_2$ दोनों $C_3$ के अंदर स्थित हैं।
$(iii)$ $C_3$,$C_1$ को $M$ पर और $C_2$ को $N$ पर स्पर्श करता है।
मान लीजिए कि $X$ और $Y$ से गुजरने वाली रेखा $C_3$ को $Z$ और $W$ पर प्रतिच्छेद करती है,और मान लीजिए कि $C_1$ और $C_3$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा,परवलय $x^2=8 \alpha y$ की स्पर्श रेखा है।
$List-I$ में कुछ व्यंजक दिए गए हैं जिनके मान नीचे $List-II$ में दिए गए हैं:

$List-I$	$List-II$
$(I) \ 2h + k$	$(P) \ 6$
$(II) \ \frac{\text{Length of } ZW}{\text{Length of } XY}$	$(Q) \ \sqrt{6}$
$(III) \ \frac{\text{Area of triangle } MZN}{\text{Area of triangle } ZMW}$	$(R) \ \frac{5}{4}$
$(IV) \ \alpha$	$(S) \ \frac{21}{5}$
	$(T) \ 2\sqrt{6}$
	$(U) \ \frac{10}{3}$

$(1)$ निम्नलिखित में से कौन सा एकमात्र गलत संयोजन है?
$(1) (IV), (S) \quad (2) (IV), (U) \quad (3) (III), (R) \quad (4) (I), (P)$
$(2)$ निम्नलिखित में से कौन सा एकमात्र सही संयोजन है?
$(1) (II), (T) \quad (2) (I), (S) \quad (3) (I), (U) \quad (4) (II), (Q)$

रेखा $2x - y + 1 = 0$ वृत्त को बिंदु $(2, 5)$ पर स्पर्श करती है और वृत्त का केंद्र $x - 2y = 4$ पर स्थित है। वृत्त की त्रिज्या है

$R$ व्यास वाले एक वृत्त के लिए,जो $x^2 + y^2 - 4y = 0$ को स्पर्श करता है और $(4, 5)$ से होकर गुजरता है,निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

परवलय $y^2 = 4x + 16$ की नाभि $5$ त्रिज्या वाले वृत्त $C$ का केंद्र है। यदि $\lambda$ के वे मान,जिनके लिए $C$ रेखाओं $3x - y = 0$ और $x + \lambda y = 4$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है,$\lambda_1$ और $\lambda_2$ $(\lambda_1 < \lambda_2)$ हैं,तो $12\lambda_1 + 29\lambda_2$ का मान . . . . . . है।

एक समबाहु त्रिभुज $OAB$ परवलय $y^{2}=4x$ में अंतर्निहित है, जिसका शीर्ष $O$ मूल बिंदु पर है। तब $AB$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त की मूल बिंदु से न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए: