જો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $2x + 2y + 3z = a$,$3x - y + 5z = b$,અને $x - 3y + 2z = c$,જ્યાં $a, b, c$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,ને એકથી વધુ ઉકેલ હોય,તો:

$3$ અજ્ઞાત ચલોમાં $2$ સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ $AX=B$ અને $CX=D$ ધ્યાનમાં લો. જો $AX=B$ નો અનન્ય ઉકેલ $D$ હોય અને $CX=D$ નો અનન્ય ઉકેલ $B$ હોય,તો $(A-C^{-1})X=O$ નો ઉકેલ શું છે?

ધારો કે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ
$x+2y+3z=\alpha$
$4x+5y+6z=\beta$
$7x+8y+9z=\gamma$
સુસંગત છે. ધારો કે $|M|$ એ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક દર્શાવે છે
$M=\begin{bmatrix} \alpha & 2 & \gamma \\ \beta & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
ધારો કે $P$ એ એવું સમતલ છે જેમાં $(\alpha, \beta, \gamma)$ ના તમામ બિંદુઓ છે જેના માટે ઉપરની સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ સુસંગત છે,અને $D$ એ બિંદુ $(0,1,0)$ થી સમતલ $P$ ના અંતરનો વર્ગ છે.
$(1)$ $|M|$ નું મૂલ્ય છે
$(2)$ $D$ નું મૂલ્ય છે

જો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x + 2ay + az = 0$,$x + 3by + bz = 0$,અને $x + 4cy + cz = 0$ નો શૂન્યેતર ઉકેલ હોય,તો $a, b, c$:

જો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ : $x+y+2z=6$,$2x+3y+az=a+1$,$-x-3y+bz=2b$ જ્યાં $a, b \in R$,ને અનંત ઉકેલો હોય,તો $7a+3b$ ની કિંમત શોધો :

જો $\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2 \\ 4\end{array}\right]$ હોય,તો $x$ અને $y$ ની કિંમતો અનુક્રમે શું થશે?