यदि दो वृत्त जो बिंदुओं (0, a) और (0, -a) से | vedclass

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Question

(B) माना वृत्तों का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+d=0 \quad \ldots(1)$ है।चूंकि ये वृत्त $(0, a)$ और $(0, -a)$ से होकर गुजरते हैं, इसलिए $a^2+2fa+d=0 \quad

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$c^2=a^2(2+m^2)$

Vedclass · Answer

(B) माना वृत्तों का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+d=0 \quad \ldots(1)$ है।चूंकि ये वृत्त $(0, a)$ और $(0, -a)$ से होकर गुजरते हैं, इसलिए $a^2+2fa+d=0 \quad \ldots(2)$ और $a^2-2fa+d=0 \quad \ldots(3)$ है।$(2)$ और $(3)$ को हल करने पर, $f=0$ और $d=-a^2$ प्राप्त होता है।इन मानों को $(1)$ में रखने पर, $x^2+y^2+2gx-a^2=0 \quad \ldots(4)$ प्राप्त होता है।चूंकि रेखा $y=mx+c$ इस वृत्त को स्पर्श करती है, इसलिए केंद्र $(-g, 0)$ से रेखा $mx-y+c=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{g^2+a^2}$ के बराबर होगी।अतः, $\frac{|-mg+c|}{\sqrt{1+m^2}} = \sqrt{g^2+a^2}$।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $(c-mg)^2 = (1+m^2)(g^2+a^2)$।विस्तार करने पर, $g^2 + 2mcg + a^2(1+m^2) - c^2 = 0$ प्राप्त होता है।माना $g_1$ और $g_2$ इस समीकरण के मूल हैं।तब मूलों का गुणनफल $g_1g_2 = a^2(1+m^2)-c^2 \quad \ldots(5)$ है।दो वृत्त $x^2+y^2+2g_1x-a^2=0$ और $x^2+y^2+2g_2x-a^2=0$ हैं।वृत्तों के लंबकोणीय होने के लिए, $2g_1g_2 = -2a^2$, अर्थात $g_1g_2 = -a^2 \quad \ldots(6)$।$(5)$ और $(6)$ से, $-a^2 = a^2(1+m^2) - c^2$।अतः, $c^2 = a^2(2+m^2)$।

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वृत्तों $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ और $2x^2+2y^2+3x+8y+2c=0$ की मूल अक्ष (radical axis) वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ को स्पर्श करती है। तो

यदि $x^2+y^2-2y-3=0$ और $x^2+y^2+4x+3=0$ वृत्तों को लंबकोणीय रूप से काटने वाले वृत्त का केंद्र $(\alpha, \beta)$ रेखा $2x-3y+4=0$ पर स्थित है,तो $2\alpha+\beta=$

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