$\triangle ABC$ માં,જો $r: R: r_2 = 1: 3: 7$ હોય,તો $\sin(A+C) + \sin B = $

જો ત્રિકોણ $ABC$ માં,$AB=5$ એકમ,$\angle B=\cos ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ અને $\triangle ABC$ ના પરિવર્તની ત્રિજ્યા $5$ એકમ હોય,તો $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?

એક અકાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PQR$ માં, ધારો કે $p, q, r$ એ અનુક્રમે $P, Q, R$ ખૂણાઓની સામેની બાજુઓની લંબાઈ દર્શાવે છે. $R$ માંથી દોરેલી મધ્યગા બાજુ $PQ$ ને $S$ માં મળે છે, $P$ માંથી દોરેલો લંબ બાજુ $QR$ ને $E$ માં મળે છે, અને $RS$ તથા $PE$ એ $O$ માં છેદે છે. જો $p=\sqrt{3}, q=1$, અને $\triangle PQR$ ના પરિવૃત્તની ત્રિજ્યા $1$ હોય, તો નીચેનામાંથી કયા વિકલ્પો સાચા છે?
$(1)$ $\triangle SOE$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{48}$
$(2)$ $\triangle PQR$ ના અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $= \frac{\sqrt{3}}{2}(2-\sqrt{3})$
$(3)$ $RS$ ની લંબાઈ $= \frac{\sqrt{7}}{2}$
$(4)$ $OE$ ની લંબાઈ $= \frac{1}{6}$

ત્રિકોણ $ABC$ માં,$\left(\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}\right)^2 \leq$

$\Delta ABC$ માં,ધારો કે $\angle C = \frac{\pi}{2}$ છે. જો $r$ અને $R$ એ ત્રિકોણની અંતઃત્રિજ્યા અને પરિત્રિજ્યા હોય,તો $2(r + R)$ બરાબર શું થાય?

એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ ની પરિત્રિજ્યા $R$ એ તેની અંતઃત્રિજ્યા $r$ કરતા ચાર ગણી છે. જો $A = B$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?