$(x^2 - 2x)^{10}$ के विस्तार में $x^{16}$ का गुणांक है

$(1 + 3x + 3x^2 + x^3)^6$ के विस्तार में मध्य पद है

यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है और $f(n)$,$(1+x)(1-x)^n$ के विस्तार में $x^n$ का गुणांक है,तो $f(2023) = $

$\left(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{18}$ के विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद है

यदि $(ax^3 + \frac{1}{bx^{1/3}})^{15}$ के विस्तार में $x^{15}$ का गुणांक $(ax^{1/3} - \frac{1}{bx^3})^{15}$ के विस्तार में $x^{-15}$ के गुणांक के बराबर है,जहाँ $a$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,तो प्रत्येक ऐसे क्रमित युग्म $(a, b)$ के लिए:

मान लीजिए $\alpha > 0, \beta > 0$ इस प्रकार हैं कि $\alpha^{3} + \beta^{2} = 4$ है। यदि $(\alpha x^{\frac{1}{9}} + \beta x^{-\frac{1}{6}})^{10}$ के द्विपद विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद का अधिकतम मान $10k$ है,तो $k$ का मान क्या है?