फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{\sin x}{\sin (x-a)}$

$I = \int \frac{\sin x}{\sin (x-a)} dx$ का समाकलन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करेंगे।
माना $t = x-a$,जिसका अर्थ है $x = t+a$ और $dx = dt$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{\sin (t+a)}{\sin t} dt$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sin t \cos a + \cos t \sin a}{\sin t} dt$
प्रत्येक पद को $\sin t$ से विभाजित करने पर:
$I = \int (\cos a + \cot t \sin a) dt$
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \cos a \int dt + \sin a \int \cot t dt$
$I = t \cos a + \sin a \ln |\sin t| + C_1$
$t = x-a$ वापस रखने पर:
$I = (x-a) \cos a + \sin a \ln |\sin (x-a)| + C_1$
$I = x \cos a - a \cos a + \sin a \ln |\sin (x-a)| + C_1$
चूंकि $-a \cos a$ एक स्थिरांक है,इसे $C_1$ के साथ जोड़कर एक नया स्थिरांक $C$ प्राप्त किया जा सकता है:
$I = x \cos a + \sin a \ln |\sin (x-a)| + C$