मान लीजिए कि $^*$ समुच्चय $N$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है जो $a \,^* \,b = a \text{ और } b \text{ का ल.स.प.}$ द्वारा परिभाषित है। $5 \,^* \,7$ और $20 \,^* \,16$ ज्ञात कीजिए।

एक अरिक्त समुच्चय $X$ दिया गया है,द्वि-आधारी संक्रिया $^*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ पर विचार करें जो सभी $A, B \in P(X)$ के लिए $A \,^*\, B = A \cap B$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $P(X)$,$X$ का घात समुच्चय है। सिद्ध कीजिए कि $X$ इस संक्रिया के लिए तत्समक अवयव है और $X$ इस संक्रिया के सापेक्ष $P(X)$ में एकमात्र व्युत्क्रमणीय अवयव है।

सिद्ध कीजिए कि $a * b = a + 2b$ द्वारा परिभाषित संक्रिया $*: R \times R \rightarrow R$ साहचर्य (associative) नहीं है।

समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ पर नीचे दिए गए गुणन सारणी द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रिया $*$ पर विचार करें। $(2 \,^* \,3) \,^* \,(4 \,^* \,5)$ का मान ज्ञात कीजिए।
(संकेत: नीचे दी गई सारणी का उपयोग करें)

निर्धारित कीजिए कि नीचे दी गई $*$ की परिभाषा एक द्वि-आधारी संक्रिया (binary operation) है या नहीं। यदि $*$ एक द्वि-आधारी संक्रिया नहीं है,तो इसका औचित्य बताइए। $R$ पर,$*$ को $a * b = ab^2$ द्वारा परिभाषित कीजिए।

मान लीजिए $A = N \times N$ और $^*$ पर $A$ में एक द्विआधारी संक्रिया (binary operation) है जो $(a, b) \,^*\, (c, d) = (a + c, b + d)$ द्वारा परिभाषित है। निर्धारित करें कि क्या संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय (commutative) है,साहचर्य (associative) है,और क्या इसमें तत्समक अवयव (identity element) है।