मान लीजिए कि f: left(-frac{pi}{4}, frac{pi}{4 | vedclass

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Question

(B) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0) = b$ होना चाहिए।सबसे पहले,दाईं सीमा $(RHL

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$1+e$

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(B) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x ightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x ightarrow 0^+} f(x) = f(0) = b$ होना चाहिए।सबसे पहले,दाईं सीमा $(RHL)$ की गणना करें:$\lim_{x ightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x ightarrow 0^+} e^{\frac{\cot 4x}{\cot 2x}} = \lim_{x ightarrow 0^+} e^{\frac{	an 2x}{	an 4x}} = \lim_{x ightarrow 0^+} e^{\frac{	an 2x}{2	an 2x(1-	an^2 2x)}} = e^{1/2}$.अतः,$b = e^{1/2}$.अब,बाईं सीमा $(LHL)$ की गणना करें:$\lim_{x ightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x ightarrow 0^-} (1+|\sin x|)^{\frac{3a}{|\sin x|}} = \lim_{t ightarrow 0^+} (1+t)^{\frac{3a}{t}} = e^{3a}$ (जहाँ $t = |\sin x|$)।सीमाओं की तुलना करने पर,$e^{3a} = e^{1/2}$,जिसका अर्थ है $3a = 1/2$,इसलिए $a = 1/6$.अतः,$6a = 1$.अंत में,$6a + b^2 = 1 + (e^{1/2})^2 = 1 + e$।

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यदि $f$ को $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos ax}{x \sin x}, & x \neq 0 \\ \frac{1}{2}, & x = 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है और $f$,$x=0$ पर सतत है,तो $a^{2} =$ . . . . . . .

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} |x|+3, & \text{यदि } x \leq -3 \\ -2x, & \text{यदि } -3 < x < 3 \\ 6x+2, & \text{यदि } x \geq 3 \end{cases}$. $x = -3$ और $x = 3$ पर $f(x)$ की सांतत्यता निर्धारित करें।

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