ધારો કે $A$ અને $B$ બે $3 \times 3$ શ્રેણિકો છે જેથી $AB = I$ અને $|A| = \frac{1}{8}$ થાય,તો $|\operatorname{adj}(B \operatorname{adj}(2A))|$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણ $x^{2}+x+1=0$ નું એક બીજ છે અને શ્રેણિક $A=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^{2} \\ 1 & \alpha^{2} & \alpha^{4} \end{bmatrix}$ છે,તો શ્રેણિક $A^{31}$ બરાબર શું થાય?

જો $f(\theta ) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \cos \theta & 1 \\ - \sin \theta & 1 & - \cos \theta \\ - 1 & \sin \theta & 1 \end{array} \right|$ અને $A$ તથા $B$ એ અનુક્રમે $f(\theta )$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો હોય,તો $(A, B)$ બરાબર શું થાય?

ધારો કે $p$ અને $p+2$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે અને $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}p! & (p+1)! & (p+2)! \\ (p+1)! & (p+2)! & (p+3)! \\ (p+2)! & (p+3)! & (p+4)!\end{array}\right|$ છે. તો $\alpha$ અને $\beta$ ની મહત્તમ કિંમતોનો સરવાળો,જેથી $p^{\alpha}$ અને $(p+2)^{\beta}$ એ $\Delta$ ને ભાગી શકે,તે $........$ છે.

જો વિધેય $f : \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ માટે,જે $f(\theta) = \left|\begin{array}{ccc} -\sin^2 \theta & -1-\sin^2 \theta & 1 \\ -\cos^2 \theta & -1-\cos^2 \theta & 1 \\ 12 & 10 & -2 \end{array}\right|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તેની ન્યૂનતમ અને મહત્તમ કિંમતો અનુક્રમે $m$ અને $M$ હોય,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(m, M)$ શું થાય?

ધારો કે $M = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$ એ પૂર્ણાંક ઘટકો $a, b, c$ ધરાવતો $2 \times 2$ સંમિત શ્રેણિક છે. નીચેનામાંથી કઈ શરતો ખાતરી આપે છે કે $M$ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે?
$(A)$ પ્રથમ સ્તંભ એ બીજી હારના પરિવર્તિત શ્રેણિક જેટલો છે.
$(B)$ બીજી હાર એ પ્રથમ સ્તંભના પરિવર્તિત શ્રેણિક જેટલી છે.
$(C)$ $M$ એ શૂન્યતર વિકર્ણ ઘટકો ધરાવતો વિકર્ણ શ્રેણિક છે.
$(D)$ $ac$ એ પૂર્ણવર્ગ નથી.