मान लीजिए S = {z in mathbb{C} : z^{2} + bar{z | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण $z^{2} + \bar{z} = 0$ है। मान लीजिए $z = x + iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ है।तब $z^{2} = x^{2} - y^{2} + 2ixy$ और $\bar{z} = x -

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(D) दिया गया समीकरण $z^{2} + \bar{z} = 0$ है। मान लीजिए $z = x + iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ है।तब $z^{2} = x^{2} - y^{2} + 2ixy$ और $\bar{z} = x - iy$ होगा।इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(x^{2} - y^{2} + x) + i(2xy - y) = 0$ प्राप्त होता है।वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर:$1) x^{2} + x - y^{2} = 0$$2) y(2x - 1) = 0$समीकरण $(2)$ से,$y = 0$ या $x = \frac{1}{2}$ है।स्थिति $1$: यदि $y = 0$,तो $x^{2} + x = 0 \implies x(x + 1) = 0$,अतः $x = 0$ या $x = -1$ है। मूल $z_{1} = 0$ और $z_{2} = -1$ हैं।स्थिति $2$: यदि $x = \frac{1}{2}$,तो $(\frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2} - y^{2} = 0 \implies \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = y^{2} \implies y^{2} = \frac{3}{4} \implies y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ है। मूल $z_{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ और $z_{4} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ हैं।समुच्चय $S = \{0, -1, \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\}$ है।सभी $z \in S$ के लिए $(\operatorname{Re}(z) + \operatorname{Im}(z))$ का योग:$(0 + 0) + (-1 + 0) + (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 0 - 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$।

मान लीजिए $S = \{z \in \mathbb{C} : z^{2} + \bar{z} = 0\}$ है। तो $\sum_{z \in S} (\operatorname{Re}(z) + \operatorname{Im}(z))$ का मान $......$ है।

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