ધારો કે x, y, z એ ધન પૂર્ણાંકો છે જેથી HCF(x, | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે $x^2+y^2=2z^2$ જ્યાં $HCF(x, y, z)=1$.$I$ તપાસો: ધારો કે $x=1, y=7, z=5$. અહીં $1^2+7^2=50=2(5^2)$. $HCF(1, 7, 5)=1$. $4$ એ $1$ કે $7$ ને

Vedclass · Accepted Answer

માત્ર $II$ અને $III$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે $x^2+y^2=2z^2$ જ્યાં $HCF(x, y, z)=1$.$I$ તપાસો: ધારો કે $x=1, y=7, z=5$. અહીં $1^2+7^2=50=2(5^2)$. $HCF(1, 7, 5)=1$. $4$ એ $1$ કે $7$ ને ભાગતું નથી. તેથી,$I$ ખોટું છે.$II$ તપાસો: $x^2+y^2=2z^2 \implies x^2+y^2 \equiv 2z^2 \pmod 3$. $3$ ના મોડ્યુલોમાં વર્ગો $0, 1$ છે. જો $z^2 \equiv 0$,તો $x^2+y^2 \equiv 0 \implies x, y$ એ $3$ ના ગુણક છે,જે $HCF=1$ નો વિરોધાભાસ કરે છે. જો $z^2 \equiv 1$,તો $x^2+y^2 \equiv 2 \implies x^2 \equiv 1, y^2 \equiv 1$. તેથી $x \equiv \pm 1, y \equiv \pm 1$. આમ $x+y \equiv 0$ અથવા $x-y \equiv 0 \pmod 3$. $II$ સાચું છે.$III$ તપાસો: $x^2+y^2=2z^2 \implies x^2-z^2 = z^2-y^2$. $5$ ના મોડ્યુલોમાં વર્ગો $0, 1, 4$ છે. જો $z^2 \equiv 0$,તો $x^2+y^2 \equiv 0 \implies x, y \equiv 0$,વિરોધાભાસ. જો $z^2 \equiv 1$,$x^2+y^2 \equiv 2$. શક્ય જોડી $(x^2, y^2)$ એ $(1, 1)$ છે. તેથી $x^2-y^2 \equiv 0 \pmod 5$. જો $z^2 \equiv 4$,$x^2+y^2 \equiv 8 \equiv 3$. શક્ય જોડી $(x^2, y^2)$ એ $(4, 4)$ છે. તેથી $x^2-y^2 \equiv 0 \pmod 5$. બંને કિસ્સામાં,$5$ એ $x^2-y^2$ ને ભાગે છે,તેથી $5$ એ $z(x^2-y^2)$ ને ભાગે છે. $III$ સાચું છે.

Similar Questions

જો $\frac{1}{2} \leq \frac{x^2+x+a}{x^2-x+a} \leq 2$ તમામ $x \in R$ માટે હોય,તો $a=$

જો $\frac{x-P}{x^2-3x+2}$ એ $x \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2\}$ માટે તમામ વાસ્તવિક કિંમતો ધારણ કરે,તો $P$ નો વિસ્તાર શોધો.

સમીકરણ $|x - 2| + |x - 1| = x - 3$ ઉકેલો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module