मान लीजिए x, y, z धनात्मक पूर्णांक हैं जैसे क | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) दिया गया है $x^2+y^2=2z^2$ जहाँ $HCF(x, y, z)=1$ है।$I$ की जाँच करें: मान लीजिए $x=1, y=7, z=5$ है। यहाँ $1^2+7^2=50=2(5^2)$ है। $HCF(1, 7, 5)=1$

Vedclass · Accepted Answer

केवल $II$ और $III$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $x^2+y^2=2z^2$ जहाँ $HCF(x, y, z)=1$ है।$I$ की जाँच करें: मान लीजिए $x=1, y=7, z=5$ है। यहाँ $1^2+7^2=50=2(5^2)$ है। $HCF(1, 7, 5)=1$ है। $4$,$1$ या $7$ को विभाजित नहीं करता है। अतः,$I$ गलत है।$II$ की जाँच करें: $x^2+y^2=2z^2 \implies x^2+y^2 \equiv 2z^2 \pmod 3$ है। $3$ के मापांक में वर्ग $0, 1$ हैं। यदि $z^2 \equiv 0$,तो $x^2+y^2 \equiv 0 \implies x, y$ $3$ के गुणज हैं,जो $HCF=1$ का विरोधाभास है। यदि $z^2 \equiv 1$,तो $x^2+y^2 \equiv 2 \implies x^2 \equiv 1, y^2 \equiv 1$ है। अतः $x \equiv \pm 1, y \equiv \pm 1$ है। इस प्रकार $x+y \equiv 0$ या $x-y \equiv 0 \pmod 3$ है। $II$ सत्य है।$III$ की जाँच करें: $x^2+y^2=2z^2 \implies x^2-z^2 = z^2-y^2$ है। $5$ के मापांक में वर्ग $0, 1, 4$ हैं। यदि $z^2 \equiv 0$,तो $x^2+y^2 \equiv 0 \implies x, y \equiv 0$,विरोधाभास। यदि $z^2 \equiv 1$,$x^2+y^2 \equiv 2$ है। संभावित जोड़े $(x^2, y^2)$ $(1, 1)$ हैं। अतः $x^2-y^2 \equiv 0 \pmod 5$ है। यदि $z^2 \equiv 4$,$x^2+y^2 \equiv 8 \equiv 3$ है। संभावित जोड़े $(x^2, y^2)$ $(4, 4)$ हैं। अतः $x^2-y^2 \equiv 0 \pmod 5$ है। दोनों स्थितियों में,$5$,$x^2-y^2$ को विभाजित करता है,इसलिए $5$,$z(x^2-y^2)$ को विभाजित करता है। $III$ सत्य है।

Similar Questions

समीकरणों $x+y+z=12$,$x^2+y^2+z^2=50$,और $x^3+y^3+z^3=216$ के हलों की संख्या क्या है?

यदि $a$ और $b$ स्वेच्छ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तो $\frac{6a}{5b} + \frac{10b}{3a}$ का न्यूनतम संभव मान क्या है?

समीकरण $6x^6-25x^5+31x^4-31x^2+25x-6=0$ के सभी परिमेय मूलों का योग है

यदि $x, y, z$ वास्तविक और भिन्न हैं,तो $u = x^2 + 4y^2 + 9z^2 - 6yz - 3zx - 2xy$ हमेशा

यदि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ समीकरण $x^4+x^2+1=0$ के मूल हैं,तो $\frac{\alpha^3+\beta^3+\gamma^3+\delta^3}{\alpha^6+\beta^6+\gamma^6+\delta^6}=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module