मान लीजिए ABC भुजा a वाला एक समबाहु त्रिभुज ह | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $\overrightarrow{AB} = 3 \overrightarrow{AM}$ और $\overrightarrow{AN} = K \overrightarrow{AC}$ है।चूंकि $\overrightarrow{BN} \perp

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$\frac{1}{5}$

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(A) दिया गया है कि $\overrightarrow{AB} = 3 \overrightarrow{AM}$ और $\overrightarrow{AN} = K \overrightarrow{AC}$ है।चूंकि $\overrightarrow{BN} \perp \overrightarrow{CM}$,उनका अदिश गुणनफल शून्य है,अर्थात $\overrightarrow{BN} \cdot \overrightarrow{CM} = 0$ है।हम लिख सकते हैं $\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AB} = K \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AC} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$ है।अब,$(K \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) \cdot (\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = 0$ है।अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर:$\frac{K}{3} (\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}) - K |\overrightarrow{AC}|^2 - \frac{1}{3} |\overrightarrow{AB}|^2 + (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}) = 0$ है।चूंकि $ABC$ भुजा $a$ वाला एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = a$ और $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = a^2 \cos(60^{\circ}) = \frac{a^2}{2}$ है।इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:$\frac{K}{3} (\frac{a^2}{2}) - K a^2 - \frac{1}{3} a^2 + \frac{a^2}{2} = 0$ है।$\frac{K a^2}{6} - K a^2 = \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{2}$ है।$-\frac{5K a^2}{6} = -\frac{a^2}{6}$ है।$K = \frac{1}{5}$।

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