मान लीजिए A = {x in R : -1 leq x leq 1} और f: | vedclass

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Question

(D) फलन $f(x) = x|x|$ के रूप में परिभाषित है।हम इसे एक टुकड़ों में परिभाषित फलन के रूप में लिख सकते हैं:$f(x) = \begin{cases} -x^2, & -1 \leq x < 0 \

Vedclass · Accepted Answer

एकैकी और आच्छादक (bijective) है

Vedclass · Answer

(D) फलन $f(x) = x|x|$ के रूप में परिभाषित है।हम इसे एक टुकड़ों में परिभाषित फलन के रूप में लिख सकते हैं:$f(x) = \begin{cases} -x^2, & -1 \leq x एकैकी होने के लिए: अंतराल $[-1, 1]$ पर $f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है (क्योंकि इसका अवकलज $f'(x) = 2|x| \geq 0$ है), इसलिए यह एकैकी है।आच्छादक होने के लिए: $x \in [-1, 0)$ के लिए $f(x)$ का परिसर $(-1, 0]$ है और $x \in [0, 1]$ के लिए $[0, 1]$ है। इन दोनों को मिलाने पर, परिसर $[-1, 1]$ प्राप्त होता है, जो कि सह-प्रांत $A$ के बराबर है। अतः, फलन आच्छादक है।चूंकि फलन एकैकी और आच्छादक दोनों है, इसलिए यह बाइजेक्टिव है।

कॉलम-$I$	कॉलम-$II$
$A$. $f$ एकैकी और आच्छादक है,यदि	$1$. $A = R^{+}, B = R$
$B$. $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है,यदि	$2$. $A = B = R$
$C$. $f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है,यदि	$3$. $A = R, B = R^{+}$
$D$. $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है,यदि	$4$. $A = B = R^{+}$

मान लीजिए $A = \{x \in R : -1 \leq x \leq 1\}$ और $f: A \rightarrow A$ एक फलन है जो $f(x) = x|x|$ द्वारा परिभाषित है। तो $f$ है

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