ધારો કે $A$, $B$ અને $C$ એ વાસ્તવિક ઘટકો ધરાવતા ત્રણ $2 \times 2$ શ્રેણિકો છે, જેથી $B = (I + A)^{-1}$ અને $A + C = I$ થાય. જો $BC = \begin{bmatrix} 1 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ અને $CB \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ -6 \end{bmatrix}$ હોય, તો $x_1 + x_2$ ની કિંમત શોધો.

$A$ અને $B$ એવા બે ચોરસ શ્રેણિકો છે કે જેથી $A^2B = BA$ થાય. જો $(AB)^{10} = A^K B^{10}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જેથી તમામ શૂન્યતર $3 \times 1$ શ્રેણિકો $X=\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]$ માટે $X^{T}AX = O$ થાય. જો $A \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 4 \\ -5\end{array}\right]$,$A \left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 4 \\ -8\end{array}\right]$,અને $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2(A+I)))=2^\alpha 3^\beta 5^\gamma$,જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{N}$,તો $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ શોધો.

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} m & n \\ p & q \end{bmatrix}$,$d = |A| \neq 0$ અને $|A - d(\operatorname{Adj} A)| = 0$. તો:

ધારો કે $A$ એ $0$ અથવા $1$ ઘટકો ધરાવતા તમામ $3 \times 3$ નિશ્ચાયકોનો ગણ છે અને $B$ એ $A$ નો ઉપગણ છે જેમાં $1$ મૂલ્ય ધરાવતા તમામ નિશ્ચાયકોનો સમાવેશ થાય છે. જો $C$ એ $A$ નો ઉપગણ છે જેમાં $-1$ મૂલ્ય ધરાવતા તમામ નિશ્ચાયકોનો સમાવેશ થાય છે, તો:

જો $P$ અને $Q$ બે $3 \times 3$ શ્રેણિકો છે કે જેથી $|PQ|=1$ અને $|P|=9$ થાય,તો $\text{adj}(P \cdot \text{adj}(3Q))$ નો નિશ્ચાયક શોધો.