मान लीजिए C वक्र y = x^3 है (जहाँ x सभी वास्त | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए वक्र $y = x^3$ पर बिंदु $A$ $(t, t^3)$ है और $B$ $(T, T^3)$ है।$A$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{dy}{dx} = 3x^2$ द्वारा दी जाती है। $

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$4$

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(A) मान लीजिए वक्र $y = x^3$ पर बिंदु $A$ $(t, t^3)$ है और $B$ $(T, T^3)$ है।$A$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{dy}{dx} = 3x^2$ द्वारा दी जाती है। $x = t$ पर,प्रवणता $m_A = 3t^2$ है।$A$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - t^3 = 3t^2(x - t)$ है,जो सरल होकर $y = 3t^2x - 2t^3$ हो जाता है।चूंकि यह स्पर्श रेखा वक्र $y = x^3$ को $B(T, T^3)$ पर मिलती है,इसलिए $T^3 = 3t^2T - 2t^3$ है।इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $T^3 - 3t^2T + 2t^3 = 0$ प्राप्त होता है।चूंकि $T = t$ एक मूल है,हम $(T - t)^2$ को गुणनखंडित कर सकते हैं:$(T - t)^2(T + 2t) = 0$।अतः,$T = -2t$ बिंदु $B$ का निर्देशांक है।$B$ पर प्रवणता $m_B = 3T^2 = 3(-2t)^2 = 3(4t^2) = 12t^2$ है।हमें दिया गया है कि $m_B = K \cdot m_A$,इसलिए $12t^2 = K(3t^2)$।अतः,$K = \frac{12t^2}{3t^2} = 4$।

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