बताइए कि क्या निम्नलिखित तालिका एक यादृच्छिक चर $X$ के प्रायिकता वितरण को दर्शाती है। अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
$X$ $0$ $1$ $2$ $P(X)$ $0.4$ $0.4$ $0.2$
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $P(X)$ | $0.4$ | $0.4$ | $0.2$ |
(A) किसी तालिका के यादृच्छिक चर $X$ के प्रायिकता वितरण को दर्शाने के लिए,उसे दो शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $P(X_i)$ गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए,अर्थात,सभी $i$ के लिए $P(X_i) \ge 0$।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात,$\sum P(X_i) = 1$।
दी गई तालिका की जाँच करने पर:
$1$. सभी प्रायिकताएँ $(0.4, 0.4, 0.2)$ $\ge 0$ हैं।
$2$. प्रायिकताओं का योग $0.4 + 0.4 + 0.2 = 1.0$ है।
चूँकि दोनों शर्तें पूरी होती हैं,इसलिए दी गई तालिका यादृच्छिक चर $X$ का एक वैध प्रायिकता वितरण है।
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $P(X_i)$ गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए,अर्थात,सभी $i$ के लिए $P(X_i) \ge 0$।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात,$\sum P(X_i) = 1$।
दी गई तालिका की जाँच करने पर:
$1$. सभी प्रायिकताएँ $(0.4, 0.4, 0.2)$ $\ge 0$ हैं।
$2$. प्रायिकताओं का योग $0.4 + 0.4 + 0.2 = 1.0$ है।
चूँकि दोनों शर्तें पूरी होती हैं,इसलिए दी गई तालिका यादृच्छिक चर $X$ का एक वैध प्रायिकता वितरण है।
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यदि एक यादृच्छिक चर $X$ का p.d.f. $f(x) = \begin{cases} \frac{ax^2}{2} + bx & , \text{यदि } 1 \leqslant x \leqslant 3 \\ 0 & , \text{अन्यथा} \end{cases}$ है और $f(2) = 2$ है,तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः क्या हैं?
निम्नलिखित प्रायिकता वितरण के लिए,$X$ का प्रत्याशित मान (expected value) ज्ञात कीजिए:
$x$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $P(x)$ $k$ $0.3$ $0.15$ $0.15$ $0.1$ $2k$
| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $P(x)$ | $k$ | $0.3$ | $0.15$ | $0.15$ | $0.1$ | $2k$ |
निम्नलिखित वितरण वाले यादृच्छिक चर $X$ का प्रसरण ज्ञात कीजिए:
$X = k$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $P(X = k)$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$
| $X = k$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $P(X = k)$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ |
यदि एक यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता वितरण फलन निम्नलिखित रूप में दिया गया है:
$X=x_i$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $P(X=x_i)$ $0.2$ $0.3$ $0.15$ $0.25$ $0.1$
तो $F(0)$ का मान ज्ञात कीजिए:
| $X=x_i$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $0.2$ | $0.3$ | $0.15$ | $0.25$ | $0.1$ |
तो $F(0)$ का मान ज्ञात कीजिए:
एक यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता वितरण नीचे दिया गया है:
$X = x$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $P(X = x)$ $0$ $k$ $2k$ $2k$ $3k$ $k^2$ $2k^2$ $7k^2 + k$
तब, $P(0 < X < 4)$ का मान ज्ञात कीजिए:
| $X = x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
| $P(X = x)$ | $0$ | $k$ | $2k$ | $2k$ | $3k$ | $k^2$ | $2k^2$ | $7k^2 + k$ |
तब, $P(0 < X < 4)$ का मान ज्ञात कीजिए:
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