વિધાન -1: વિધેય f(x) = x^2(e^x + e^{-x}) એ તમ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $f(x) = x^2e^x + x^2e^{-x}.$$x > 0$ માટે,$x^2e^x$ સ્પષ્ટપણે વધતું વિધેય છે કારણ કે તેનું વિકલન $2xe^x + x^2e^x = xe^x(2+x) > 0$ થાય છે.હવે

Vedclass · Accepted Answer

વિધાન $-1$ સાચું છે; વિધાન $-2$ ખોટું છે.

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $f(x) = x^2e^x + x^2e^{-x}.$$x > 0$ માટે,$x^2e^x$ સ્પષ્ટપણે વધતું વિધેય છે કારણ કે તેનું વિકલન $2xe^x + x^2e^x = xe^x(2+x) > 0$ થાય છે.હવે $h(x) = x^2e^{-x}$ ધ્યાનમાં લો.$h'(x) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = xe^{-x}(2-x).$$0  0$ છે,પરંતુ $x > 2$ માટે,$h'(x) આમ,$h(x)$ એ તમામ $x > 0$ માટે વધતું વિધેય નથી,તેથી વિધાન $-2$ ખોટું છે.હવે,$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2e^x) + \frac{d}{dx}(x^2e^{-x}) = (2x+x^2)e^x + (2x-x^2)e^{-x} = 2x(e^x+e^{-x}) + x^2(e^x-e^{-x}).$તમામ $x > 0$ માટે $e^x > e^{-x}$ હોવાથી,$e^x - e^{-x} > 0$ થાય.આમ,તમામ $x > 0$ માટે $f'(x) > 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $f(x)$ એ તમામ $x > 0$ માટે વધતું વિધેય છે.તેથી,વિધાન $-1$ સાચું છે અને વિધાન $-2$ ખોટું છે.

Similar Questions

વિવૃત અંતરાલ $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માં, $\cos x + x \sin x$ પદાવલિ માટે નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?

ધારો કે $f(x)=e^x-x$ અને $g(x)=x^2-x, \forall x \in R$. તો $x \in R$ નો એવો ગણ શોધો જ્યાં વિધેય $h(x)=(fog)(x)$ વધતું વિધેય હોય.

વિધેય $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 29$ કયા અંતરાલ માટે ઘટતું વિધેય છે?

$f(x) = x + \frac{1}{x}, x \neq 0$ વિધેય ક્યારે ચુસ્ત વધતું વિધેય બને?

ધારો કે $p(x)$ એ વાસ્તવિક સહગુણકો ધરાવતી બહુપદી છે, $p(0) = 1$ અને તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $p^{\prime}(x) > 0$ છે. તો

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module