मान लीजिए कि z_{1}, z_{2}, z_{3} आर्गंड समतल | vedclass

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Question

(A) चूंकि $z_{1}, z_{2}$ और $z_{3}$ एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं, इसलिए $|z_{1} - z_{2}| = |z_{2} - z_{3}| = |z_{3} - z_{1}| = k$ है। दिया गया है $\

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एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष

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(A) चूंकि $z_{1}, z_{2}$ और $z_{3}$ एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं, इसलिए $|z_{1} - z_{2}| = |z_{2} - z_{3}| = |z_{3} - z_{1}| = k$ है। दिया गया है $\alpha = \frac{1}{2}(\sqrt{3} + i)$, इसलिए $|\alpha| = \frac{1}{2} \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4} = 1$ है। मान लीजिए $A = \alpha z_{1} + \beta$, $B = \alpha z_{2} + \beta$, और $C = \alpha z_{3} + \beta$ है। अब $A$ और $B$ के बीच की दूरी $|A - B| = |(\alpha z_{1} + \beta) - (\alpha z_{2} + \beta)| = |\alpha(z_{1} - z_{2})| = |\alpha| |z_{1} - z_{2}| = 1 \cdot k = k$ है। इसी प्रकार, $|B - C| = |\alpha(z_{2} - z_{3})| = k$ और $|C - A| = |\alpha(z_{3} - z_{1})| = k$ है। चूंकि नए बिंदुओं के बीच की दूरियां समान हैं, इसलिए वे एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

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